하루에 한 번쯤은 겪는 이런 당혹스러움은 오랜 옛날부터도 골칫거리였던 모양이다. 동방 원정을 시작하기 전에 알렉산드로스 대왕이 쿨하게 칼로 잘라버렸다는 고르디아스의 매듭 설화도 있고, '엉킨 실타래'는 복잡하게 꼬여 해결하기 어려운 문제에 대한 비유로 종종 사용되곤 했다.
주머니 속에서 벌어지는 이어폰 줄의 조화를 이해하는 데 수학이 도움이 될 수 있다. 바로 매듭을 분류하고 이들의 변형을 연구하는 '매듭론' 덕분이다. 매듭론은 위상수학의 한 분야로 순수수학치고는 꽤나 구체적인 현실을 다룬다. 다만 여기서 말하는 매듭이란 일상생활에서 접하는 매듭과는 약간 다르다. 흔히 접하는 매듭은 그저 실을 꼬아서 묶는 것을 일컫지만, 매듭론에서 다루는 매듭은 처음과 끝을 이어놓은 실, 즉 완전한 폐곡선(closed curve) 형태를 말한다.
◆매듭론의 기원, 소용돌이
매듭론이 폐곡선 형태의 구체적인 대상을 다루는 이유는 그 기원이 물리학의 '소용돌이(vortex)'를 설명하는 과정에서 탄생했기 때문이다. 여기서의 소용돌이란 흔히 생각하듯 물이나 공기가 뱅뱅 돌며 휘몰아치는 그 소용돌이가 맞다. 과학적으로 엄밀하게 정의하자면, 소용돌이는 유체의 일부가 원운동을 하는 부분을 이르는 말로 별다른 방해가 없는 이상적인 상황에서는 폐곡선을 따라 영원히 회전한다.
인스턴트 커피에 물을 붓고 휘저을 때를 생각해 보자. 잔속의 물은 한 덩어리로 원운동을 하는 것처럼 보이지만, 자세히 보면 찻잔에 가까운 부분의 커피 분말은 물을 따라 회전하지 않고 제자리에서 뱅뱅 맴도는 경우가 있다. 물의 흐름 근처에 작은 크기의 소용돌이가 생기는 것이다. 이는 산속 개울에서 종종 볼 수 있는, 물가의 나뭇잎이 하류로 떠내려가지 않고 제자리에서 맴도는 것과 비슷한 현상이다.
이를 더욱 미시적으로 살펴보면 한 방향으로 흘러가는 듯 보이는 유체(fluid, 액체와 기체를 합쳐 부르는 용어)들도 미세한 소용돌이의 연쇄로 이루어진다는 사실을 알 수 있다. 이를 체계화한 이론이 바로 유체에서의 소용돌이 이론, 흔히 '보텍스(vortex)'라고 말하는 이론이다. 보텍스 이론은 미세한 소용돌이가 최소 단위를 이루고 이들이 모여 커다란 유체의 움직임을 구성한다고 본다. 따라서 단위 소용돌이의 성질과 변화를 분석하면 전체 유체의 흐름도 예측할 수 있을 것이다. 유체에서의 보텍스 이론은 독일의 과학자인 헤르만 폰 헬름홀츠(Hermann von Helmholtz)가 체계화하고 영국의 과학자, 켈빈 경(Lord Kelvin, William Thomson)이 다듬어 완성했다.
켈빈 경은 오늘날 절대온도를 뜻하는 '켈빈'이라는 단위에 이름을 남긴 과학자다. 전기와 열역학 연구에서 엄청난 공을 세운 이 위대한 과학자는 정작 원자론에는 재능이 없었는지, 원자의 존재를 부정하는 중대한 오류를 범했다. 그가 원자의 대체재로 선택한 것이 바로 소용돌이로, 보텍스 이론을 바탕으로 새로운 화학 체계를 구상할 심산이었다. 켈빈 경은 원자는 단단한 입자가 아니라 특정한 모양과 고리의 개수를 지니는 소용돌이로 이루어진다고 생각했으며, 소용돌이의 모양과 구조에 따라 물질의 성질과 화학반응이 결정된다고 주장했다. 켈빈 경이 '원자의 소용돌이' 이론의 기본 골격을 만들었다면 동료인 피터 테이트(Peter G. Tait)는 세부 아이템들을 채워 넣었다. 테이트는 원자를 대체할 매듭의 개념을 분명하게 정의하고 매듭을 종류별로 분류했다. 켈빈의 이론에서는 매듭이 원자를 대체했으므로, 이는 곧 각 물질의 성질에 대응하는 구조의 매듭을 하나하나 지정하는 작업이었던 셈이다.
◆현실을 설명하는 수학, 과학을 바꾸는 수학
매듭은 그것을 이루는 실이 서로 교차돼 꼬인 부분이 몇 개인지에 따라 구분한다. 가장 기본적인 형태의 매듭은 교차된 부분이 없는 원형이다. 원형매듭을 중간을 끊지 않은 채 이리저리 복잡하게 꼬아 놓아도 꼬인 부분을 신중하게 풀어나가면 끈을 자르지 않고도 원래의 원형으로 되돌릴 수 있다. 이때 원래의 원형 매듭과 복잡하게 꼬아 놓은 매듭은 동일한 매듭이다. 실뜨기 놀이를 할 때 고리로 묶어 놓은 실의 모양이 다양하게 변화하지만 손에서 빼는 것만으로 간단하게 원래의 원형 고리로 되돌릴 수 있다는 점을 생각해보면 된다.
그렇다면 복잡하게 얽힌 두 매듭이 같은지 다른지 어떻게 알 수 있을까? 이를 설명한 사람이 독일의 수학자 쿠르트 라이데마이스터(Kurt Reidemeister)다. 이름에 '마이스터'가 들어간 사람답게 그는 매듭론의 기초를 이룰 중요한 개념을 정립했다. 라이데마이스터는 하나의 매듭이 같은 종류의 다른 매듭으로 변할 때 세 가지 변형을 거친다는 사실을 알아냈다. 막상 그림으로 보면 맥 빠지게 간단하고 자명해 보이는 개념이지만, 이를 통해 하나의 매듭이 어떤 매듭으로부터 변형된 것인지 증명할 수 있다. 바꾸어 말하면 라이데마이스터 변형으로는 결코 변하지 않고 보존되는 수학적인 양이 있어, 이 양에 따라 매듭을 구분할 수 있다는 뜻이다.
매듭이 꽤나 매력적인 주제였는지 많은 수학자들이 매듭에 지속적으로 관심을 두고 연구했다. 20세기 들어서는 대수구조를 이용하여 매듭을 함수 형태로 분석하기 시작하면서 본격적으로 체계화됐으며, 이 과정에서 '땋임(braid)'과 통합된다. 땋임이란 머리카락을 땋듯 몇 가닥의 실을 꼬아 놓은 모양을 일컫는다. 매듭과 달리 양쪽이 연결되지 않은 실 여러 가닥이 얽힌 모양이다. 땋임을 연결한 형태는 특정한 대수적 구조인 '군(群)'으로 정의할 수 있으며 이를 '땋임군'이라고 한다. 땋임군의 구조를 매듭에 적용하면, 서로 땋인 실의 아래쪽과 위쪽을 서로 연결할 때 매듭이 만들어진다는 사실을 확인할 수 있다.
별 걸 다 연구한다 싶겠지만 의외로 매듭과 땋임 연구는 매우 중요하다. 복잡한 3차원 구조를 수학적으로 분석함으로써 어떻게 변형이 가능한지 예측할 수 있게 해 주기 때문이다. 대표적으로 활용되는 분야가 바로 분자생물학이다. 분자생물학에서 가장 중요한 연구대상 중 하나가 DNA다. 유전정보를 담은 DNA는 평소에는 차지하는 공간을 줄이기 위해 빽빽하게 꼬인 상태로 존재한다. 그러다 유전정보를 복제하거나 단백질을 만들어내야 할 때 잔뜩 꼬인 나선구조를 풀어야 하는데, 효소가 가장 효율적으로 꼬임을 풀 수 있도록 DNA의 적당한 부분을 끊는다. 매듭이론은 이 과정을 분석하는 데 매우 요긴하다.
생물학 외에도 매듭론은 여러 분야에 응용된다. 국내에서 발표된 것 중 중요한 사례로는 땋임군을 이용한 암호이론이 있다. 이는 세계에서 최초로 한국의 연구자가 개발한 독자적인 암호체계로 후속 연구가 계속 진행 중이다. 물리학의 최전선인 양자장 이론에서도 매듭론은 중요한 역할을 한다.
활용범위가 넓은 만큼 매듭이론은 현대 수학에서 중요한 위치를 차지하고 있다. '수학계의 노벨상'인 필즈상 수상자가 이 분야에서만 여러 명 나왔으며, 국내에서도 많은 연구자들이 매듭론 연구에 참여하고 있다.
단순한 고리에서 시작된 연구가 세상의 근본 원리를 탐구하는 열쇠가 된 것이다.
글 : 김택원 과학칼럼니스트
*본 콘텐츠의 저작권은 한국과학기술정보연구원(KISTI)에 있습니다.
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